Nova Acta Leopoldina Band 110 Nummer 377

der Photosynthese. Exponentielles Wachstum wird in der Natur durch den Prozess der Repro- duktion implementiert. Organismen testen, ob genügend Nahrung für die Vermehrung vor- handen ist, und Bakterien, aber auch Schleimpilze oder andere Organismen gehen in Dauerformen – Sporen – über, wenn das Nahrungsangebot für eine erfolgreiche Teilung zu gering ist. Exponentielles Wachstum kann durch eine einfache Differentialgleichung ausgedrückt werden: Alle vorhandenen Individuen X haben Nachkommen, und daher ist der Zuwachs in der Population proportional zur Populationsgröße. Die Zahl der Individuen bezeichnen wir mit der Variablen x(t) = [X]t, die Proportionalitätskonstante ist der Malthussche Wachstums- parameter, und für unbeschränktes Wachstum ergibt sich , x(t) = x(0)ert . [4] Bereits der Mathematiker Pierre François VERHULST zeigte, wie man exponentielles Wachstum beschränken kann (VERHULST 1838, 1845): , x(t) = . [5] Die Konstante C ist die Maximalzahl der Individuen, welche im System ernährt werden kön- nen. Jede exponentiell wachsende Population wird diese Größe erreichen, der Parameter r gibt an, wie rasch der Grenzwert erreicht wird. Das Wachstum geht in eine Sättigung über, welche durch C – die Tragfähigkeit – im Englischen Carrying Capacity – des Ökosystems, bestimmt wird (Abb. 1). Abb. 1 Exponentielles Wachstum und endliche Tragfähigkeit eines Ökosystems. Die Gleichung nach Pierre François VERHULST beschreibt exponentielles Wachstum in einer Umwelt mit beschränkter Tragfähigkeit (‚Carrying capacity‘) C. Verglichen sind hier unbeschränktes exponentielles Wachstum, y(t) (grau), mit beschränktem Wachstum x(t) (schwarz). Parameterwahl: r = 0,2, C = 1 und x(0) = y(0) = 0,02. Mit Mathematik und Computer auf Entdeckungsreisen in der Evolutionsbiologie Nova Acta Leopoldina NF 110, Nr. 377, 167–211 (2011) 175 dx dt = rx dx dt = rx 1 x C x(0)C x(0)+ C x 0( )( )e rt