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Nova Acta Leopoldina Band 110 Nummer 377

Die dadurch entstehende Reihe ist: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … FIBONACCI gibt eine einfache biologische Deutung: Die einzelnen zahlen stellen Paare von Hasen – je ein Weibchen und ein Männchen – dar. Die erwachsenen Hasenpärchen bringen in jedem zeit- abschnitt ein Paar Junge – wieder ein Weibchen und ein Männchen – zur Welt. Die jungen Hasen sind nicht sofort zeugungsfähig und müssen noch einen zeitabschnitt mit dem Junge- kriegen warten. Dann wird noch angenommen, dass die Hasen nicht altern: Alle Hasen leben ewig und bleiben ohne Einschränkung fruchtbar. Wir beginnen mit einem Paar junger Hasen, F1 = 1, und daher gibt es nach dem ersten zeitabschnitt noch keine Jungen, F2 = 1. Im nächsten zeitabschnitt bekommen die alten Hasen Nachwuchs, und zusammen mit den bereits vorhan- denen Hasen haben wir nunmehr, F3 = 1 + 1 = 2 Hasenpärchen. Im folgenden zeitabschnitt gibt es wieder nur bei den alten Hasen Nachwuchs, da die jungen Hasen erst erwachsen werden müssen: F4 = 2 + 1 = 3, und weiter setzt sich die Reihe fort wie oben angegeben. Die Fibo- nacci-Reihe ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum in diskreter Form, d. h. in ganzen zahlen ausgedrückt. In der Tat kann man die Reihe in einem gegebenen Intervall sehr genau durch eine obere und untere Exponentialfunktion beschränken: fupper(n) = exp[0,44259(n–1)] ≥ Fn ≥ flower(n) = exp[0,500917(n–2)], 1 ≤ n ≤ 10. [2] Der Begriff der Exponentialfunktion wurde allerdings lange nach FIBONACCI eingeführt und geht auf den Schweizer Mathematiker Leonhard EULER zurück, der sich als erster mit unend- lichen Reihen und ihren Grenzwerten befasste (EULER 1748). Der britische Nationalökonom und Begründer der Demographie Thomas Robert MALTHUS (1798) hat als erster das Wachstumsgesetz von Populationen formuliert und benutzte dazu eine geometrische Reihe: Ein Paar hätte zwei Kinder und diese jeweils zwei Nachkommen, die Po- pulation wächst von Generation zu Generation gemäß der Reihe 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... Für kontinuierliche zeit gleichbedeutend mit überlappenden Generationen oder dem Weg- fall eines zeitgebers für die Vermehrung wird aus der geometrische Reihe eine Exponential- funktion. Mit einer konstanten (relativen) Wachstumsrate r nimmt das Malthussche Wachs- tumsmodell die folgende Gestalt an: P(t) = P(0) exp(rt); r … Wachstumsrate oder Malthus-Parameter, t … zeit. [3] Unkontrolliertes Wachstum führt zu Populationsgrößen, welche auf Grund der limitierten Nah- rungsmittelproduktion nicht mehr ernährt werden können. Seine pessimistische Weltsicht, welche bereits an der Wende zum 19. Jahrhundert die Notwendigkeit von Geburtenkontrolle nahelegte, ist seinem Hauptwerk An Essay on the Principle of Population (MALTHUS 1798) entnommen, er schreibt: „Epidemics, pestilence and plague advance in terrific array, and sweep off their thousands and ten thousands. Should success be still incomplete, gigantic famine stalks in the rear, and with one mighty blow, levels the population with the food of the world.“2 Der Einfluss von Robert MALTHUS auf die nach ihm kommenden Generationen war ungeheuer groß: Die Väter der natürlichen Auslese, Charles DARWIN und Alfred WALLACE, entnahmen dem Wachstumsmodell, dass der Großteil der Nachkommen in tierischen Populationen vor dem Erreichen der Geschlechtsreife sterben muss und daher nur die „Tüchtigsten“ Nachkom- Mit Mathematik und Computer auf Entdeckungsreisen in der Evolutionsbiologie Nova Acta Leopoldina NF 110, Nr. 377, 167–211 (2011) 173 2 MALTHUS 1798, S. 61. Ende von Kapitel VII.