Nova Acta Leopoldina Band 110 Nummer 377

finden wir stets Situationen vor, welche zwischen den beiden Extremen liegen. Um diese ma- thematisch mit geschlossenen Ausdrücken analysieren zu können, sind wir auf Näherungen angewiesen. Eine solche Näherung besteht in der Vernachlässigung der Erzeugung der Mas- tersequenz als fehlerhafte Kopien der Mutanten oder Neglect of mutational backflow (EIGEN 1971). Für diesen Ansatz, den wir hier als nullte Näherung bezeichnen, nimmt die Mutations- Selektionsgleichung die unten gezeigte Form an und entspricht formal der Selektions- gleichung. Die stationäre Konzentration der Mastersequenz in der nullten Näherung, , ist einfach zu berechnen: mit . [13] Hierin bedeuten Qmm die Häufigkeit, mit welcher die Mastersequenz korrekt kopiert wird, und σm die Superiorität der Mastersequenz, welche als Quotient zwischen dem Fitnessparameter der Mastersequenz und der mittleren Fitness der restlichen Population berechnet wird: mit . [14] Um die Abhängigkeit der stationären Konzentration der Mastersequenz als eine Funktion der Replikationsgenauigkeit einfach berechnen zu können, werden Punktmutationen betrachtet, welche einzelne Nukleotide austauschen. Außerdem müssen wir noch die vereinfachende An- nahme einer Uniform error rate treffen, welche davon ausgeht, dass die spontane Mutations- häufigkeit11 weder von der Natur des zu mutierenden Nukleotids noch von der Position entlang der Sequenz abhängt.12 Bezeichnen wir diese einheitliche Häufigkeit einer Mutation pro Nu- kleotid und Replikation mit p, dann erhalten wir für die Mutationsterme zwischen allen Se- quenzen: , . [15] Die Länge der Polynukleotidsequenz ist hier mit λ bezeichnet und dH(Xi, Xj) stellt den Ham- mingabstand13 zwischen den beiden Sequenzen Xi und Xj dar.Einsetzen für Qmm ergibt die Ab- hängigkeit der stationären Konzentration von der Mutationsrate, . Mit zunehmender Mutationsrate wird der Anteil der Mastersequenz an der Quasispezies immer kleiner, bis schließlich die stationäre Konzentration der Mastersequenz an der Stelle p = pcr verschwindet. Diesen kritischen Wert der Mutationsrate bezeichnen wir als Fehlerschranke: Mit Mathematik und Computer auf Entdeckungsreisen in der Evolutionsbiologie Nova Acta Leopoldina NF 110, Nr. 377, 167–211 (2011) 189 11 Die spontane Mutation steht im Kontrast zu induzierten Mutationen, welche durch Einwirkung von Strahlung oder Chemikalien erzeugt werden. 12 Experimentelle Daten zeigen, dass diese Annahme nur eine Näherung darstellt, denn es gibt sogenannte ‚Hot spots‘ für Mutationen. Dies sind Positionen, an welchen die Mutationshäufigkeit deutlich höher ist als an den restlichen Nukleotiden. Dessen ungeachtet ist der Ansatz einer Uniform error rate durchaus brauchbar, wenn wir annehmen, dass die verwendete Mutationshäufigkeit einen Mittelwert darstellt. 13 Der Hammingabstand gibt die zahl der Positionen an, in welchen sich zwei Sequenzen unterscheiden (HAMMING 1950, 1986). Wesentlich für die Berechnung des Hammingabstandes ist das Alignment, die Art der Gegenüber- stellung der beiden Sequenzen. Wir gehen hier davon aus, dass die Sequenzen gleich lang sind und die beiden Enden einander gegenüber gestellt werden. ! dxm (0) dt = Qmm fm "j( )xm (0) ! xm (0) = Qmmsm "1 sm "1 ! sm = fm f"m ! f"m = fi xii=1, i #m n $ xii=1, i #m n $ = fixii=1, i #m n $ 1" xm ! Qji p( ) = 1" p( ) l "dH Xj, Xi( ) p dH Xj, Xi( ) ! Qmm p( ) = 1" p( ) l ! xm (0) !xm (0) p( )