Professor Dr Michael Struwe

Michael Struwe ist Mathematiker mit den Forschungsschwerpunkten partielle Differentialgleichungen und Variationsrechnung sowie deren Anwendungen in der mathematischen Physik und Differentialgeometrie. Typischerweise sind die diesen Gebieten entstammenden partiellen Differentialgleichungen nichtlinear und besitzen ein für die zur Verfügung stehenden Methoden kritisches Wachstum.
Dies gilt vor allem für die Methoden der Variationsrechnung: Die Variationsrechnung hat sich sowohl als Mittel zum Verständnis der Naturgesetze als auch als universelles Werkzeug zum Auffinden von Lösungen und zur Analyse ihrer Eigenschaften erwiesen, jedoch oft nur für Lösungen, die sich als Minima eines entsprechenden Energiefunktionals charakterisieren lassen, nicht aber für Sattelpunkte, die insbesondere im Rahmen der Morse-Theorie ebenfalls von Interesse sind. Michael Struwe konnte hingegen zeigen, dass Methoden der Variationsrechnung auch auf Fragestellungen der Geometrischen Analysis anwendbar sind; insbesondere gelang ihm eine mathematisch rigorose neue Herleitung der Morse-Theorie für Minimalflächen sowie ein Beweis der lange offenen Rellichschen Vermutung betreffend die Existenz von Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung vom Sattelpunkttyp.
Oft gelingt die Anwendung von Variationsmethoden auch mit Hilfe des von Michael Struwe gefundenen „Monotonie-Tricks“, der insbesondere in der Geometrischen Analysis aber auch bei der Untersuchung kritischer Sobolev-Einbettungen und anderen Variationsproblemen mit geeigneter Struktur Verbreitung gefunden hat.
Michael Struwe leistete bedeutende Beiträge zur Theorie der geometrischen Evolutionsgleichungen, vor allem in dem Bereich der von der Krümmung einer Fläche getriebenen Flüsse und dem verwandten Evolutionsproblem für harmonische Abbildungen. So gelang ihm insbesondere der Beweis des grundlegenden Satzes für die Existenz einer eindeutigen, für alle Zeit definierten, partiell regulären Lösung des Wärmeflusses für harmonische Abbildungen geschlossener Riemannscher Flächen, zusammen mit der präzisen Charakterisierung aller Singularitäten. Mit der von ihm entdeckten Monotonieformel für diesen Wärmefluss konnte er in Zusammenarbeit mit Yunmei Chen ein analoges, jedoch weniger weit reichendes Resultat in höheren Dimensionen zeigen. (Perelman zitiert die zur gleichen Zeit unabhängig von Gerhard Huisken gefundene gleichgeartete Monotonieformel für den mittleren Krümmungsfluss als eine Kernidee für seinen Beweis der Poincare-Vermutung, welcher eines der sieben Clay-Millenium-Probleme löst.)
Nichtlineare Feldgleichungen und Probleme der Eichtheorie in der Einsteinschen Relativitätstheorie führen auf nichtlineare Wellengleichungen mit kritischem Wachstum. Selbst im einfachsten Fall galt dieses kritische Verhalten lange als ein unüberwindbares Hindernis für mathematische Fortschritte in diesem Bereich. Michael Struwe gelang es jedoch mit Hilfe gewisser, zuvor von Morawetz entdeckter Erhaltungssätze auch im Falle kritischen Wachstums bei diesen Modellproblemen eine Konzentration der zur betrachteten Gleichung assoziierten Energie in Lichtkegeln auszuschliessen und daraus die Existenz von für alle Zeiten definierten Lösungen herzuleiten. Ein zu diesem in drei Raumdinensionen gültigen Satz analoges Resultat für alle Dimensionen konnte er später gemeinsam mit Jalal Shatah beweisen. Zusammen mit Shatah gelang ihm auch ein neuer Zugang zum zuvor von Terence Tao gefunden Existenzsatz für sogenannte Wave maps, die das Konzept der harmonischen Abbildungen auf Mannigfaltigkeiten vom Lorentz-Typ verallgemeinern und ebenfalls kritisches Wachstum aufweisen. Dieser neue Zugang mit Hilfe einer kritischen Verschärfung der grundlegenden Strichartz-Abschätzungen führt zu einer radikalen Vereinfachung des Problems in vier und mehr Raumdimensionen, ist aber leider nicht auf den Fall von zwei oder drei Raumdimensionen übertragbar.
Derzeit beschäftigt sich Michael Struwe erneut mit Geometrischen Evolutionsgleichungen, beispielsweise mit dem Fluss für sogenannte halb-harmonische Abbildungen des Kreises, die Minimalflächen mit freien Rändern beschreiben oder mit dem Fluss für konforme Metriken auf einer Fläche zu vorgeschriebener Krümmung.